Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為平行四邊形，且，，平面PAC.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線PC與AD所成的角為30°，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直判斷定理:如果一條直線垂直一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線,那么這條線垂直這個(gè)平面，要證平面，只需證明和，即可求得答案；

（2）先求證平面，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的法向量為，平面PDC的法向量為，根據(jù)，即可求得答案.

（1）在中，，，

由余弦定理得：

，

，，即

平面PAC，平面PAC，

.

又平面PAB，平面PAB，，

平面PAB.

（2），

是異面直線PC與AD所成的角，

又平面，

，在中，，，，

，易知，

在中，，

，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，則.

由（1）知平面PAB，

，

又平面，平面ABCD，，

平面ABCD，

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

可得：，，，

設(shè)平面PBC的法向量為，

則

取，則，

，是平面PBC的一個(gè)法向量

設(shè)平面PDC的法向量為，

則，

則，取，則，

，是平面PDC的一個(gè)法向量.

，

由圖可知二面角是鈍二面角，

二面角的余弦值為.