Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于A，B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，-3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）點M是（1）中拋物線上一個動點，且位于直線AC的上方，試求△ACM的最大面積以及此時點M的坐標；
（3）拋物線上是否存在點P，使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）代入A，C兩點，列出方程，解得a，b即可；
（2）設M（a，-a²+4a-3），直線AC：y=1-x，過M作x軸的垂線交AC于N，則N（a，1-a），即有三角形ACM的面積為△AMN和△CMN的面積之和，化簡運用二次函數的最值，即可得到；
（3）討論當∠ACP=90°，當∠CAP=90°，運用直線方程和拋物線方程求交點即可．

解答： 解：（1）由于A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，-3），
則a+b-3=0，且16a+4b-3=-3，解得，a=-1，b=4，
即有y=-x²+4x-3；
（2）設M（a，-a²+4a-3），直線AC：y=1-x，
過M作x軸的垂線交AC于N，則N（a，1-a），
即有三角形ACM的面積為△AMN與△CMN的面積之和，即為

1

2

（a-1+4-a）（-a²+4a-3-1+a）
=

3

2

（-a²+5a-4），當a=

5

2

時，面積取得最大，且為

27

8

，
此時M（

5

2

，

3

4

）；
（3）當∠ACP=90°，即有此時CP：y=x-7，代入拋物線方程，可得，P（-1，-8）；
當∠CAP=90°，即有此時AP：y=x-1，代入拋物線方程，可得，P（2，1）．
故存在點P，且為（-1，-8）或（2，1），使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形．

點評：本題考查拋物線的方程和性質，考查聯立直線方程和拋物線方程，解方程求交點，考查二次函數的最值問題，屬于中檔題．