Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：在上為增函數；

（Ⅲ）若在區間上有且只有一個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明如下；（Ⅲ）；

【解析】

試題（Ⅰ）由題可知，當時，函數，求曲線在點處的切線方程，則滿足，通過點斜式直線方程，，可求出直線方程；（Ⅱ）當時，函數，求出導數，令，通過對求導，得到的單調性為在上是減函數，在上是增函數，于是函數在時取得最小值，因此，故函數在上為增函數．（Ⅲ）對函數求導，．

令，．對進行討論，當時，函數在上為增函數，將端點值代入，得到一正一負，即存在為函數在區間上唯一的極小值點，當時，函數在上為增函數，將端點值代入，得到，因此函數無極值點，當時，當時，總有成立，即成立，故函數在區間上為單調遞增函數，所以在區間上無極值．

試題解析：解：函數定義域為，．

（Ⅰ）當時，，．

所以．

所以曲線在點處的切線方程是，

即．

（Ⅱ） 當時，．

設，則．

令得，或，注意到，所以．

令得，注意到，得．

所以函數在上是減函數，在上是增函數．

所以函數在時取得最小值，且．

所以在上恒大于零．

于是，當，恒成立．

所以當時，函數在上為增函數．

（Ⅱ）問另一方法提示：當時，．

由于在上成立，即可證明函數在上為增函數．

（Ⅲ）（Ⅱ）．

設，．

（1）當時，在上恒成立，

即函數在上為增函數．

而，，則函數在區間上有且只有一個零點，使,且在上，，在上，，故為函數在區間上唯一的極小值點;

（2）當時，當時，成立，函數在區間上為增函數，又此時，所以函數在區間恒成立，即，

故函數在區間為單調遞增函數，所以在區間上無極值；

（3）當時，．

當時，總有成立，即成立，故函數在區間上為單調遞增函數，所以在區間上無極值．

綜上所述．