Question

【題目】已知函數．

（1），求函數的單調區間：

（2）對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求導后，按照、、與分類，分別解出不等式，即可得解；

（2）轉化條件得對于任意，不等式恒成立，設，則，設，求導后可得在上單調遞增，進而可得，使得，即，則，設，求導后可得在上單調遞增，即可證，代入求出后，即可得解.

（1）由題意，

則，

（i）當時，的解集為，則的單調增區間為和，單調減區間為；

（ii）當時，，則的單調增區間為，無單調減區間；

（iii）當時，的解集為，則的單調增區間為和，單調減區間為；

（iiii）當時，的解集為，則的單調增區間為，單調減區間為.

（2）由已知，問題等價于對于任意，不等式恒成立，

設，則，

設，則，

在上，，單調遞增，

又，，所以，

所以，使得，即，

在上，，單調遞減；

在上，，單調遞增；

所以，

又有，

設，則有和，

所以在上，單調遞增，所以，

所以，

故實數的取值范圍為.