Question

如圖，，分別為的邊，上的點，且不與的頂點重合。已知的長為，，的長是關于的方程x²-14x+mn=0的兩個根。
（Ⅰ）證明：，，，四點共圓；
（Ⅱ）若，且，求，，，所在圓的半徑。

Answer 1

(1)略  （2）5 

（I）利用四點共圓的判定定理探求成立條件即可證明；（Ⅱ）利用圓的知識確定圓心，然后求出半徑即可。
（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC,  即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB  因此∠ADE=∠ACB ， 所以C,B,D,E四點共圓。
（Ⅱ）m="4," n=6時，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF=(12-2)=5.故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5