Question

【題目】為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200m，圓心角為的扇形地上建造市民廣場，規劃設計如圖：內接梯形區域為運動休閑區，其中A，B分別在半徑，上，C，D在圓弧上，

；上，；區域為文化展區，長為，其余空地為綠化區域，且長不得超過200m.

(1)試確定A，B的位置，使的周長最大？

(2)當的周長最長時，設，試將運動休閑區的面積S表示為的函數，并求出S的最大值.

Answer 1

【答案】（1）、都為50m；（2）；；最大值為.

【解析】

對于（1），設，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，結合基本不等式即可得出結論；

對于（2），當△AOB的周長最大時，梯形ACBD為等腰梯形，過O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，則E、F分別為AB，CD的中點，利用已知可表示出相關線段；然后利用梯形的面積公式可知， ，，令，，，結合導數，確定函數的單調性，即可求出S的最大值。

解：（1）設，，m，，

在中，，

即.

所以.

所以，當且僅當時，取得最大值，

此時周長取得最大值.

答：當、都為50m時，的周長最大.

（2）當的周長最大時，梯形為等腰梯形.

如上圖所示，過O作交于F，交于E，則E、F分別為、的中點，

所以.由，得.

在中，，.

又在中，，故.

所以

，.

令，，

，.

又及在上均為單調遞減函數，

故在上為單調遞減函數.

因，故在上恒成立，

于是，在上為單調遞增函數.

所以當時，有最大值，此時S有最大值為.

答：當時，梯形面積有最大值，且最大值為.