Question

【題目】已知函數f（x）= 是奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并給以證明；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數f（x）= 是奇函數．

∴f（﹣x）+f（x）=0．

即： =0

化簡整理得： =0

可得：a2x+2=a+22x

解得：a=2．

所以實數a的值為2

（2）解：由（1）得f（x）= ，其定義域為R．

函數f（x）在定義域R上單調減函數．證明如下：

設x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1＜x2，

∴ ，

故得f（x1）﹣f（x2）＞0．

所以函數f（x）在定義域R上單調減函數

（3）解：由（1）可得f（x）= = = ．

∵

∴f（x） ，

所以函數f（x）的值域為（﹣∞， ）∪（ ，+∞）

【解析】（1）利用奇函數的定義求解即可：即f（﹣x）+f（x）=0．（2）求函數的定義域，利用定法證明其單調性．（3）對函數進行化簡，分離常數法，即可得到值域．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．