Question

【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．

（Ⅰ）當0≤x≤200時，求函數v（x）的表達式；

（Ⅱ）當車流密度x為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=xv（x）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 函數v（x）的表達式

（Ⅱ） 當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知當0≤x≤20時，v（x）=60. 當20<x≤200時，設函數。由題意可知 ，代入求得 的值。（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，分別求兩段函數的最大值，哪個大就是函數的最大值。當0≤x≤20時，利用一次函數的單調性來求；當20<x≤200時，因為 等于定值200，所以可由基本不等式求最大值。

試題解析：（Ⅰ） 由題意：當0≤x≤20時，v（x）=60；當20＜x≤200時，設v（x）=ax+b

再由已知得，解得

故函數v（x）的表達式為．

（Ⅱ）依題并由（Ⅰ）可得

當0≤x＜20時，f（x）為增函數，故當x=20時，其最大值為60×20=1200

當20≤x≤200時，

當且僅當x=200﹣x，即x=100時，等號成立．

所以，當x=100時，f（x）在區間（20，200]上取得最大值．

綜上所述，當x=100時，f（x）在區間[0，200]上取得最大值為，

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．

答：（Ⅰ） 函數v（x）的表達式

（Ⅱ） 當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．