Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F₂（2，0），設A、B是雙曲線上關于原點對稱的兩點，AF₂、BF₂的中點分別為M、N，已知以MN為直徑的圓經過原點，且直線AB的斜率為

3 7

7

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

• B、

  5

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），由中點坐標公式求出M、N坐標關于x₁、y₁的表達式．根據直徑所對的圓周角為直角，得

OM

=

1

4

（4-x12）-

1

4

y12=0．再由點A在雙曲線上且直線AB的斜率為

3 7

7

，得到關于x₁、y₁、a、b的方程組，聯解消去x₁、y₁得到關于a、b的等式，結合b²+a²=c²=4解出a=1，可得離心率e的值．

解答： 解：根據題意，設A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
∵AF₂的中點為M，BF₂的中點為N，
∴M（

1

2

（x₁+2），

1

2

y₁），N（

1

2

（-x₁+2），-

1

2

y₁）．
∵原點O在以線段MN為直徑的圓上，
∴∠NOM=90°，可得

OM

=

1

4

（4-x12）-

1

4

y12=0．…①
又∵點A在雙曲線上，且直線AB的斜率為

3 7

7

，∴

x12 a2 - y12 b2 =1 y1= 3 7 7 x1

，…②．
由①②聯解消去x₁、y₁，得

1

a2

-

9 7

b2

=

4

7

，…③
又∵F₂（2，0）是雙曲線的右焦點，可得b²=c²-a²=4-a²，
∴代入③，化簡整理得a⁴-8a²+7=0，解之得a²=1或7，
由于a²＜c²=4，所以a²=7不合題意，舍去．
故a²=1，得a=1，離心率e=

c

a

=2．
故選：C．

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求它的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．熟練掌握雙曲線的標準方程及其性質、參數a、b、c的關系、中點坐標公式，是解決本題的關鍵．