Question

已知函數f（x）=|x+3|-|x-2|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若f（x）≥|a-4|有解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：①運用零點分區間，討論當x≥2，當-3＜x＜2時，當x≤-3時，去絕對值解不等式，最后求并集即可得到；
②運用絕對值不等式，即有||x+3|-|x-2||≤|（x+3）-（x-2）|=5，則-5≤|x+3|-|x-2|≤5，f（x）≥|a-4|有解，即為|a-4|≤5，解不等式即可得到范圍．

解答： 解：①當x≥2，則f（x）=x+3-（x-2）=5≥3成立，則有x≥2；
當-3＜x＜2時，f（x）=x+3-（2-x）=2x+1≥3，解得，x≥1，則有1≤x＜2；
當x≤-3時，f（x）=-x-3-（2-x）=-5≥3不成立，則x∈∅．
則不等式f（x）≥3的解集為{x|x≥2或1≤x＜2}={x|x≥1}；
②由于||x+3|-|x-2||≤|（x+3）-（x-2）|=5，
則-5≤|x+3|-|x-2|≤5，
f（x）≥|a-4|有解，即為|a-4|≤5
即有-5≤a-4≤5，
解得，-1≤a≤9，
則實數a的取值范圍為[-1，9]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式有解問題等價為求函數最值問題，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．