Question

已知函數f（x）=x•lnx，g（x）=ax³-

1

2

x-

2

3e

．
（1）求f（x）的單調增區間和最小值；
（2）若函數y=f（x）與函數y=g（x）在交點處存在公共切線，求實數a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx＞0解得增區間，再求最小值即可；
（2）求導f′（x）=1+lnx，g′（x）=3ax²-

1

2

，則由函數y=f（x）與函數y=g（x）在交點處存在公共切線知1+lnx=3ax²-

1

2

，x•lnx=ax³-

1

2

x-

2

3e

；聯立求解．

解答： 解：（1）f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞

1

e

；
故f（x）的單調增區間為（

1

e

，+∞）；
f（x）的單調減區間為（0，

1

e

）；
故f（x）的最小值為f（

1

e

）=-

1

e

；
（2）f′（x）=1+lnx，g′（x）=3ax²-

1

2

，
∵函數y=f（x）與函數y=g（x）在交點處存在公共切線，
∴1+lnx=3ax²-

1

2

①，x•lnx=ax³-

1

2

x-

2

3e

②；
由①得，ax²=

lnx

3

+

1

2

；
代入②得，
x•lnx=x（

lnx

3

+

1

2

）-

1

2

x-

2

3e

；
化簡可得，xlnx=-

1

e

；
故x=

1

e

；
故3a

1

e2

-

1

2

=0；
解得a=

e2

6

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用，屬于中檔題．