Question

已知a，b，c∈R，（a+b+c）²≥2（a²+b²+c²）+4d，求證：ab+bc+ac≥3d．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：將已知不等式展開，得到c²-2（a+b）c+a²+b²-2ab+4d≤0，運用主元思想，可令f（c）=c²-2（a+b）c+a²+b²-2ab+4d，則f（c）≤0，由判別式不小于0，得到ab≥d，同理，可視a，b為主元，則可證得bc≥d，ac≥d，相加即可得證．

解答： 證明：（a+b+c）²≥2（a²+b²+c²）+4d，展開可得，
c²-2（a+b）c+a²+b²-2ab+4d≤0，
可令f（c）=c²-2（a+b）c+a²+b²-2ab+4d，則f（c）≤0，
由于f（c）的圖象表示開口向上的拋物線，且與x軸有交點，
則判別式△=4（a+b）²-4（a²+b²-2ab+4d）≥0，
化簡可得，ab≥d，
同理，可視a，b為主元，則可證得bc≥d，ac≥d，
則ab+bc+ac≥3d．

點評：本題考查不等式的證明，考查運用主元法思想，借助二次函數的圖象和性質，考查推理能力，屬于中檔題．