Question

已知數列{a_n}是公差不為零的等差數列，a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數列；
（Ⅰ）求通項a_n；
（Ⅱ）令b_n=a_n+2^a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列與等比數列的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d（d≠0），由等差數列的通項公式列出方程，求出a₁與q的關系，再代入a_n化簡；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）求出b_n，利用分組求和法，等比、等差數列的前n項和公式求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d（d≠0），
因為a₁，a₂，a₄成等比數列，所以a22=a1•a4，
則(a1+d)2=a1•(a1+3d)，化簡得，a₁=d，
由a₁=1得，d=1，
所以a_n=1+（n-1）=n；  
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=a_n+2^a_n=n+2ⁿ，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=

n(n+1)

2

+2n+1-2
=

n2+n-4

2

+2n+1．

點評：本題考查了等比數列的通項公式、等比、等差數列的前n項和公式，以及數列的求和方法：分組求和法，根據數列的通項公式特點選擇恰當的方法求解．