Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x+1
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）求曲線在點（0，f（0））處的切線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，

當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，當x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）時，f′（x）＞0，

∴函數f（x）在（﹣1，1）上遞減，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上遞增，

當x=﹣1時取到極大值是f（﹣1）=3，當x=1取到極小值f（1）=﹣1．

（2）解：由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，

∵f（0）=1，∴曲線在點（0，f（0））處的切線方程是y﹣1=﹣3x

即3x+y﹣1=0．

【解析】（1）由求導公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據二次函數的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導數與函數單調性關系求出f（x）的單調區間和極值；（2）由導數的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．