Question

【題目】在多面體中，底面是梯形，四邊形是正方形，，，面面，..

（1）求證：平面平面；

（2）設為線段上一點，，試問在線段上是否存在一點，使得平面，若存在，試指出點的位置；若不存在，說明理由?

（3）在（2）的條件下，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析.（2）見解析.（3）.

【解析】

分析：（1）在梯形中，過點作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用線面垂直的判定定理得平面,進而可得平面平面；（2）在線段上取點，使得，連接，先證明與相似，于是得，由線面平行的判定定理可得結果；（3）點到平面的距離就是點到平面的距離，設到平面的距離為，利用體積相等可得，，解得.

詳解：（1）因為面面，面面，，所以面，.

故四邊形是正方形，所以.

在中，，∴.，

∴，∴∴.

因為，平面，平面.

∴平面,

平面，∴平面平面.

（2）在線段上存在點，使得平面

在線段上取點，使得，連接.

在中，因為，所以與相似，所以

又平面，平面，所以平面.

（3）點到平面的距離就是點到平面的距離，設到平面的距離為，利用同角相等可得，，可得.