Question

【題目】已知函數 .

(1)若，求函數的單調區間；

(2)若，則當時，函數的圖象是否總在直線上方？請寫出判斷過程.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2)見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）令g（x）=x，討論m的范圍，根據函數的單調性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，結合函數恒成立分別判斷即可證明結論．

(1)函數定義域為，

.

①當，即時，,此時在上單調遞增；

②當，即，

時，，此時單調遞增，

時，，此時單調遞減，

時，，此時單調遞增.

③當，即時，，，此時單調遞增，

時，，此時單調遞減，

時，，此時單調遞增.

綜上所述，①當時，在上單調遞增，

②當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，

③當時，在 和上單調遞增，在上單調遞減.

(2)當時，由(1)知在上單調遞增，在上單調遞減.

令.

①當時，，所以函數圖象在圖象上方.

②當時，函數單調遞減，所以其最小值為，最大值為，所以下面判斷與的大小，即判斷與的大小，

其中，

令，

令，則，

因，所以，單調遞增；

所以，故存在，

使得，

所以在上單調遞減，在單調遞增，

所以，

所以時，，

即，也即，

所以函數的圖象總在直線上方.