Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，且.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證： 為定值；

（3）判斷數(shù)列中是否存在三項成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）不存在

【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)探求出，再運用等比數(shù)列的定義進(jìn)行推證；（2）借助等比數(shù)列的前項和公式分別求出， ，然后再求其比值；（3）假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的三項，然后運用假設(shè)進(jìn)行分析推證，找出矛盾，從而斷定不存在假設(shè)的三項：

解：（1）當(dāng)時， ，解得.

當(dāng)時， ，即.

因為，所以，從而數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.

（2）因為，所以，

故數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，

從而， ，

所以.

（3）假設(shè)中存在第項成等差數(shù)列，

則，即.

因為，且，所以.

因為，

所以，故矛盾，

所以數(shù)列中不存在三項成等差數(shù)列.