Question

已知函數f（x）=alnx+x²f′（1）+

∫

e 1

1

x

dx，且f′（2）=7．
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數f（x）＞m對于x＞

1

e

恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,定積分,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由定積分公式，求出

∫

e 1

1

x

dx=1，再求出函數的導數，令x=1，2求出a=-2，再由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）函數f（x）＞m對于x＞

1

e

恒成立，即為m＜f（x）在x＞

1

e

的最小值．運用導數求出單調區間和極值，進而得到最小值，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）由于

∫

e 1

1

x

dx=lnx|

e 1

=lne-ln1=1，
則f（x）=alnx+x²f′（1）+1，則f′（x）=

a

x

+2xf′（1），
則f′（1）=a+2f′（1），即有f′（1）=-a，
又f′（2）═

a

2

+4•（-a）=7，解得，a=-2，f′（1）=2．
則有f（x）=-2lnx+2x²+1．即有f′（x）=

-2

x

+4x，
即f′（1）=2，f（1）=3，
則曲線f（x）在x=1處的切線方程為：y-3=2（x-1），即2x-y+1=0；
（2）函數f（x）＞m對于x＞

1

e

恒成立，即為m＜f（x）在x＞

1

e

的最小值．
由于f′（x）=

-2

x

+4x=

4x2-2

x

=

4(x- 2 2 )(x+ 2 2 )

x

（x＞0），
當

1

e

＜x＜

2

2

時，f′（x）＜0，當x＞

2

2

時，f′（x）＞0，
則f（x）在x=

2

2

時取得極小值，也為最小值，
且為-2ln

2

2

+2×

1

2

+1=2+ln2．
則有m＜2+ln2．
則實數m的取值范圍是（-∞，2+ln2）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，求單調區間和極值和最值，考查不等式恒成立問題轉化為求最值，考查定積分的運算，屬于中檔題．