Question

正四面體邊長

2

a，外接球半徑和內切球半徑分別是多少？

Answer 1

考點：球內接多面體

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：如圖，ABCD是棱長為

2

a的正四面體 作AO₁⊥平面BCD于O₁，則O₁為△BCD的中心，求出AO₁=

2 3

3

a．在平面ABO₁內作AB的垂直平分線交AO₁于O，求出AO=

3

2

a，從而求出正四面體的外接球半徑和內切球半徑．

解答： 解：如圖，ABCD是棱長為

2

a的正四面體作AO₁⊥平面BCD于O₁，則O₁為△BCD的中心，
則BO₁=

6

3

a，
∴AO₁=

2 3

3

a．
在平面ABO₁內作AB的垂直平分線交AO₁于O，則AO=BO=CO=DO，且O到平面BCD、ABC、ACD、ABD的距離相等
∴O是△ACD的內切球，外接球球心
∵

AO

AB

=

AE

AO1

，∴AO=

3

2

a．
∴OO₁=AO₁-AO=

2 3

3

a-

3

2

a=

3

6

a．
∴正四面體的外接球半徑R=AO=

3

2

a，內切球半徑r=OO₁=

3

6

a．

點評：本題考查正四面體的外接球半徑和內切球半徑的求法，是中檔題，解題時要注意合理的化空間問題為平面問題．