Question

【題目】如圖所示，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為DD1的中點．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1B1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD交AC于O點，連接OP，

因為O為矩形對角線的交點，O為BD的中點，P為DD1的中點，

則OP∥BD1，又因為OP面APC，BD1面APC

所以直線BD1∥平面PAC

（2）證明：因為AB=AD=1，所以矩形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，

由長方體可知，DD1⊥AC，而BD∩DD1=D，

所以AC⊥面BDD1B1，且AC面PAC，

則平面PAC⊥平面BDD1B1

【解析】（1）連接BD交AC于O點，連接OP，運用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；（2）由線面垂直的判定定理，證得AC⊥面BDD1B1 ， 再由面面垂直的判定定理即可得證．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．