Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）是函數(shù)的極值點，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）在（2）的條件下，，若，，使不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出，，由導(dǎo)數(shù)得幾何意義知切線的斜率為且過點，即可寫出直線的點斜式方程；(2)由是函數(shù)的極值點可知，求出，令結(jié)合定義域即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)令，則題意等價于，利用分析的單調(diào)性從而求出最小值為4，所以使得函數(shù)，由在有解即可求出的取值范圍.

（1）的定義域為，時，，，

，，所以切線方程為，即.

（2），

是函數(shù)的極值點，，可得，

所以，令，即，

解得，結(jié)合定義域可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）令，，，

使得恒成立，等價于，

，

因為，所以，，即，

所以在上單調(diào)遞增，，

即使得函數(shù)，即轉(zhuǎn)化為在有解，

，所以，.