Question

已知定義域為R的數f（x）=-

1

2

+

b

2x+1

是奇函數
（1）求b的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²-t）+f（t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的奇偶性即可求b的值；
（2）將不等式進行轉化，利用函數奇偶性和單調性之間的關系即可求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（0）=-

1

2

+

b

2

=0，解得b=1．
（2）當b=1時，f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

則（-∞，+∞）上為減函數，
∵f（x）為奇函數，
∴不等式f（t²-t）+f（t²-k）＜0等價為f（t²-t）＜-f（t²-k）=f（k-t²），
∵f（x）是減函數，
∴不等式等價為t²-t＞k-t²，
即2t²-t-k＞0，
則判別式△=1+8k＜0，
解得k＜-

1

8

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及不等式恒成立問題，根據奇函數的性質，利用函數單調性和奇偶性的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．