Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且當x=

1

2

時，函數f（x）=

1

2

a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x取得極值．
（1）若b_n=2^n-1•a_n，求數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）試證明：n＞3（n∈N^*）時，S_n＞

4n

n+1

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出導數，由極值的定義，得f′（

1

2

）=0，得a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，由b_n=2^n-1•a_n，則b_n+1-b_n=1，由等差數列的通項公式即可得到；
（2）運用錯位相減法求數列的和，注意解題步驟，運用等比數列求和公式即可得到；
（3）運用二項式定理，展開2ⁿ=（1+1）ⁿ，即可得證．

解答： （1）解：f′（x）=a_nx+2^-n-a_n+1，
由題意得f′（

1

2

）=0，得a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，
由a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，得2ⁿa_n+1-2^n-1•a_n=1，
由b_n=2^n-1•a_n，則b_n+1-b_n=1，
則數列{b_n}的通項公式b_n=b₁+（n-1）×1=1+n-1=n；
（2）解：由（1）得，a_n=n•2^1-n，
則S_n=1•2^1-1+2×2^1-2+3×2^1-3+…+（n-1）×2^1-（n-1）+n•2^1-n，
2S_n=1×2+2×2^1-1+3×2^1-2+…+n•2^2-n，
兩式相減得，S_n=1×2+1×2^1-1+1×2^1-2+1×2^1-3+…+1×2^1-（n-1）-n•2^1-n
=

2(1-2-n)

1-2-1

-n•2^1-n=4-

4+2n

2n

；
（3）證明：由S_n=4-

4+2n

2n

=4-

4+2n

(1+1)n

=4-

4+2n

1+n+ n(n-1) 2 +…+n+1

n＞3時，S_n＞4-

4+2n

1+n+ n(n-1) 2 +n

=4-

4+2n

(n+1)(n+2) 2

=4-

4

1+n

=

4n

n+1

．

點評：本題考查導數的運用：求極值，考查數列的通項公式的求法，注意構造數列，運用等差數列的通項公式和等比數列求和公式，考查錯位相減求和，以及二項式定理用于證明不等式的方法，屬于中檔題和易錯題．