Question

設函數f（x）=e^x．
（I）求證：f（x）≥ex；
（II）記曲線y=f（x）在點P（t，f（t））（其中t＜0）處的切線為l，若l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（I）設g（x）=e^x-ex，則g′（x）=e^x-e，由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，利用導數性質能夠證明f（x）≥ex．
（II）由f′（x）=e^x，知曲線y=f（x）在點P外切線為l：y-e^t=e^t（x-t），切線l與x軸的交點為（t-1，0），與y軸的交戰為（0，e^t-te^t），由此入手能夠推導出當t=-1時，S有最大值．

解答：（I）證明：設g（x）=e^x-ex，∴g′（x）=e^x-e，
由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，
∴在區間（-∞，1）上，g′（x）＜0，
函數g（x）在區間（-∞，1）上單調遞減，
在區間（1，+∞）上，g′（x）＞0，
函數g（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，
g（x）≥g（1）=0，
∴f（x）≥ex．
（II）解：∵f′（x）=e^x，∴曲線y=f（x）在點P外切線為l：y-e^t=e^t（x-t），
切線l與x軸的交點為（t-1，0），與y軸的交戰為（0，e^t-te^t），
∵t＜0，∴S=S（t）=

1

2

(1-t)•(1-t)et=

1

2

(1-2t+t2)et，
∴S′=

1

2

et(t2-1)，
在（-∞-1）上，S（t）單調增，在（-1，0）上，S（t）單調減，
∴當t=-1時，S有最大值，此時S=

2

e

．

點評：本題考查不等式的證明，考查三角形面積最大值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質和等價轉化思想的合理運用．