Question

設函數f（x）=e^x（e為自然對數的底數），g（x）=x²-x，記h（x）=f（x）+g（x）．
（1）h′（x）為h（x）的導函數，判斷函數y=h′（x）的單調性，并加以證明；
（2）若函數y=|h（x）-a|-1=0有兩個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數y=h（x）求出它的導函數h′（x），令F（x）=h'（x），可根據其導函數的正負，即可得到函數單調區間即可．
（2）由（1）知h'（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，由導數法，可得h（x）的單調性，根據函數y=|h（x）-a|-1有兩個零點，從而有方程|h（x）-a|-1=0有兩個根，即方程h（x）=a±1有兩個根，利用函數h（x）的最小值建立關于a的不等關系，即可得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=e^x+x²-x，∴h'（x）=e^x+2x-1，
令F（x）=h'（x），則F'（x）=e^x+2＞0，
∴F（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，即h'（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
（2）由（1）知h'（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，而h'（0）=0，
∴h'（x）=0有唯一解x=0，x，h'（x），h（x）的變化情況如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	遞減	極小值	遞增

又∵函數y=|h（x）-a|-1有兩個零點，
∴方程|h（x）-a|-1=0有兩個根，即方程h（x）=a±1有兩個根
而a+1＞a-1，∴a-1＜（h（x））_min=h（0）=1且a+1＞（h（x））_min=h（0）=1，
解得0＜a＜2．
所以，若函數y=|h（x）-a|-1有兩個零點，實數a的取值范圍是（0，2）

點評：考查學生利用導數研究函數的性質能力，函數單調性的判定，根的存在性及根的個數判斷，其中熟練掌握函數零點與方程根之間的對應關系是解答的關鍵．