Question

18、設函數f（x）=e^x[x²-（1+a）x+1]（x∈R），
（I）若曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線與直線y=x+4平行．求a的值；
（II）求函數f（x）單調區間．

Answer 1

分析：（I）欲求a的值的大小，根據所給的切線方程，只須求出切線斜率即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率進而得切線方程，最后與所給的方程比較即得a的值．
（II）欲求函數f（x）單調區間，先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即得．

解答：解：
（Ⅰ）f'（x）=e^x[x²-（1+a）x+1]+e^x（2x-1-a）=e^x[x²+（1-a）x-a]=e^x（x-a）（x+1）
由曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線與直線平行y=x+4，
得f'（0）=1，即e⁰（0-a）（0+1）=1，解得，a=-1．
（II）∵e^x＞0，令f'（x）=0，得x=a或x=-1．∴①若a=-1，f'（x）≥0，f（x）是增函數，增區間為（-∞，+∞）．（7分）
②若a＜-1，當x＜a或x＞-1時，f'（x）＞0，f（x）是增函數，增區間為（-∞，a），（-1，+∞）．
當a＜x＜-1時，f'（x）＜0，f（x）是減函數，減區間為（a，-1）．（10分）
③若a＞-1，當x＜-1或x＞a時，f'（x）＞0，f（x）是增函數，增區間為（-∞，-1），（a，+∞）．
當-1＜x＜a時，f'（x）＜0，f（x）是減函數，減區間為（-1，a）．（13分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．