Question

如圖所示，在平面坐標(biāo)系中，直線y=-2x+b（0＜b＜1）與單位圓x²+y²=1相交于A，B（A在第二象限）兩個(gè)不同的點(diǎn)，且∠AOB=α，∠BOC=β，則cos（α-2β）的值是（　�。�

• A、-

  3

  5

• B、

  3

  5

• C、-

  4

  3

• D、

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義,單位圓與周期性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：把直線與圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x與y的二元二次方程組，求出方程組的解即可得到交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，然后根據(jù)α為第一象限的角，由點(diǎn)A的坐標(biāo)分別求出sinα和cosα的值，β為第三象限的角，由點(diǎn)B的坐標(biāo)分別求出sinβ和cosβ的值，最后把所求的式子利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出值．

解答： 解：由任意角的三角函數(shù)的定義可知B（cosβ，-sinβ）；
A（cos（α-β），sin（α-β））；
不妨x₁=cosβ，y₁=sinβ，x₂=cos（α-β），y₂=sin（α-β）
聯(lián)立得：

y=-2x+b x2+y2=1

解得：5x²-4bx+b²-1=0，
∴x₁•x₂=cosβcos（α-β）=

b2-1

5

，x₁+x₂=cosβ+cos（α-β）=

4b

5

，
y₁•y₂=-sinβ•sin（α-β）=4x₁x₂-2b（x₁+x₂）+b²=

4b2-4

5

-

8b2

5

+b²=

b2-4

5

，
則cos（α-2β）=cosβcos（α-β）+sinβsin（α-β）=

b2-1

5

-

b2-4

5

=

3

5

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握象限角的三角函數(shù)值的求法，靈活運(yùn)用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．