Question

若二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），滿足f（x+2）-f（x）=16x且f（0）=2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由f（0）=2，求出c=2，根據f（x+2）-f（x）=4ax+4a+2b=16x，通過系數相等，從而求出a，b的值；
（Ⅱ）問題轉化為?x∈[1，2]，使不等式m＜4x²-10x+2成立，令g（x）=4x²-10x+2，x∈[1，2]，求出g（x）的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f（0）=2，解得：c=2，
∴f（x）=ax²+bx+2（a≠0），
由f（x+2）-f（x）
=[a（x+2）²+b（x+2）+2]-[ax²+bx+2]
=4ax+4a+2b
=16x，
∴

4a=16 4a+2b=0

，解得：

a=4 b=-8

，
∴f（x）=4x²-8x+2；
（Ⅱ）∵?x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m，
即?x∈[1，2]，使不等式m＜4x²-10x+2成立，
令g（x）=4x²-10x+2，x∈[1，2]，
故g（x）_最大=g（2）=-2，
∴m＜-2．

點評：本題考查了求二次函數的解析式問題，考查了求參數的范圍問題，考查了轉化思想，是一道中檔題．