Question

已知△ABC的內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，若ac=5，且

BA

•

BC

=

5

．
（1）求△ABC的面積大小及tanB的值；
（2）若函數f(x)=

2cos2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 -1

cos( π 4 +x)

，求f（B）的值．

Answer 1

分析：（1）將已知的第二個等式左邊利用平面向量的數量積運算法則化簡后，把ac的值代入求出cosB的值，再由B為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，進而求出tanB的值，由ac及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；
（2）將f（x）解析式的分子第一、三項結合，利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡，分母利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后將x=B代入，分子分母同時除以cosB，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將tanB的值代入計算，即可求出值．

解答：解：（1）∵ac=5，

BA

•

BC

=

5

，
∴

BA

•

BC

=accosB=5cosB=

5

，即cosB=

5

5

，
又B為三角形的內角，
∴sinB=

1-sin2B

=

2 5

5

，
∴tanB=2，
∴S=

1

2

acsinB=

5

；
（2）∵f（x）=

2cos2 x 2 +2sin x 2 cos x 2 -1

cos( π 4 +x)

=

cosx+sinx

2 2 (cosx-sinx)

=

2 (cosx+sinx)

cosx-sinx

，
∴f（B）=

2 (cosB+sinB)

cosB-sinB

，
∵tanB=2，
∴f（B）=

2 (1+tanB)

1-tanB

=-3

2

．

點評：此題考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，以及平面向量的數量積運算，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．