Question

已知△ABC的內角A，B，C成等差數列，則cos²A+cos²C的取值范圍是

[

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：由A，B及C成等差數列，根據等差數列的性質求出B的度數，進而得到A+C的度數，利用二倍角的余弦函數公式化簡所求式子，再利用積化和差變形，把A+C的度數代入，利用特殊角的三角函數值化簡為一個角的余弦函數，由余弦函數的值域即可得到所求式子的范圍．

解答：解：∵A，B，C成等差數列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=60°，即A+C=120°，
cos²A+cos²C
=

1+cos2A

2

+

1+cos2c

2

=1+

cos2A+cos2C

2

=1+cos（A+C）cos（A-C）
=1-

1

2

cos（A-C），
∵-1≤cos（A-C）≤1，
∴

1

2

≤1-

1

2

cos（A-C）≤

3

2

，
則cos²A+cos²C的取值范圍是[

1

2

，

3

2

]．
故答案為：[

1

2

，

3

2

]

點評：此題考查了等差數列的性質，二倍角的余弦函數公式，積化和差公式，以及余弦函數的值域，利用三角函數的恒等變形把所求式子化為一個角的余弦函數是解題的關鍵．