Question

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法中：①在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若該三角形有兩解，則x取值范圍是2＜x＜2

2

；②在△ABC中，若b=8，c=5，A=60°，則△ABC的外接圓半徑等于

14 3

3

；③在△ABC中，若c=5，

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，則△ABC的內切圓的半徑為2；④在△ABC中，若AB=4，AC=7，BC=9，則BC邊的中線AD=

7

2

；⑤設三角形ABC的BC邊上的高AD=BC，a、b、c分別表示角A、B、C對應的三邊，則

b

c

+

c

b

的取值范圍是[2，

5

]．其中正確說法的序號是

①④⑤

（注：把你認為是正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：①要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個交點，故取A的度數為90°和45°進行檢驗，找出A的范圍，確定出sinA的范圍，由已知的b及B，利用正弦定理表示出a=2

2

sinA，根據sinA的范圍，得出2

2

sinA的范圍，即為a的取值范圍；
②由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，然后再由a，sinA的值，利用正弦定理即可求出三角形外接圓的半徑；
③由正弦定理表示b與a的比值，代入已知的等式，利用二倍角的正弦函數公式化簡，根據A和B為三角形的內角，且兩角不相等，得到A和B互余，即C為直角，同時根據b與a的比值設出a與b，再由c的值，利用勾股定理求出a與b的值，根據直角三角形內切圓半徑的公式即可求出；
④利用余弦定理表示出cosB，把三角形的三邊長代入求出cosB的值，再由D為BC的中點，求出BD的長，在三角形ABD中，由AB，BD及cosB的值，利用余弦定理即可求出中線AD的長；
⑤利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積為

1

2

bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底與高乘積的一半表示三角形ABC的面積，兩者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，變形后，將表示出的sinA代入，得到

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA，左邊利用基本不等式求出最小值，右邊利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域求出右邊式子的最大值，即為

b

c

+

c

b

的最大值，即可得到

b

c

+

c

b

的范圍．

解答：解：①因為AC=b=2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個交點，
當A=90°時圓與AB相切；當A=45°時交于B點，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即

2

2

＜sinA＜1，
∵b=2，B=45°，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=x=

bsinA

sinB

=2

2

sinA，
又

2

2

＜sinA＜1，
∴2

2

sinA∈（2，2

2

），
則x取值范圍是2＜x＜2

2

，本選項正確；
②∵b=8，c=5，A=60°，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+25-40=49，
解得：a=7，
設三角形ABC的外接圓半徑為R，
根據正弦定理得：2R=

a

sinA

=

7

sin60°

，解得：R=

7 3

3

，本選項錯誤；
③由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

b

a

=

sinB

sinA

，
又

cosA

cosB

=

b

a

，∴

sinB

sinA

=

cosA

cosB

，即sinBcosB=sinAcosA，
∴

1

2

sin2B=

1

2

sin2A，即sin2B=sin2A，
又A和B為三角形的內角，
∴2A+2B=180°或2A=2B，
∵

b

a

=

4

3

，得到a≠b，即A≠B，故2A=2B舍去，
∴A+B=90°，即C為直角，
可設a=3k（k＞0），則有b=4k，根據勾股定理列得：（3k）²+（4k）²=25，
解得：k=1，即a=3，b=4，
則三角形內切圓的半徑r=

3+4-5

2

=1，本選項錯誤；
④∵AB=c=4，AC=b=7，BC=a=9，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

3

，
又D為BC的中點，∴BD=

1

2

BC=

9

2

，
在三角形ABD中，AB=4，BD=

9

2

，cosB=

2

3

，
由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=

49

4

，
解得：AD=

7

2

，本選項正確；
⑤∵BC邊上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，
∴sinA=

a2

bc

，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

(

b

c

+

c

b

-

a2

bc

)，
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA
=

5

（

2 5

5

cosA+

5

5

sinA）
=

5

sin（α+A）≤

5

，
（其中sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

），
又

b

c

+

c

b

≥2，
∴

b

c

+

c

b

∈[2，

5

]，本選項正確，
則正確說法的序號是①④⑤．
故答案為：①④⑤

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，正弦函數的定義域與值域，三角形的面積公式，二倍角的正弦函數公式，直角三角形內切圓半徑求法，兩角和與差的正弦函數公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．