Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²－(a＋2)x＋lnx.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）y＝－2    （2）[1，＋∞)

解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x²－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.
因?yàn)閒′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以切線方程是y＝－2.
(2)函數(shù)f(x)＝ax²－(a＋2)x＋lnx的定義域是(0，＋∞)．
當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)．
令f′(x)＝0，即f′(x)＝＝＝0，
得x＝或x＝.
當(dāng)0<≤1，即a≥1時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
當(dāng)1<<e時(shí)，f(x)在[1，e]上的最小值f()<f(1)＝－2，不合題意；
當(dāng)≥e時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減．
所以f(x)在[1，e]上的最小值f(e)<f(1)＝－2，不合題意．
綜上a的取值范圍為[1，＋∞)．