Question

在△ABC中，三內角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，若a，b，c是公差為正數的等差數列，且sinB=

7

4

，則cosA-cosC=

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數的求值

分析：由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，利用正弦定理化簡得到①，設設cosA-cosC=x，②，①²+②²，得到③，由a，b，c的大小判斷出A，B，C的大小，確定出cosA大于cosC，利用誘導公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可確定出cosA-cosC的值．

解答： 解∵a，b，c成等差數列，
∴2b=a+c，
由正弦定理化簡得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=

7

2

，①
設cosA-cosC=x，②
①²+②²，得2-2cos（A+C）=

7

4

+x²，③
又a＜b＜c，A＜B＜C，
∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，
∴cos（A+C）=-cosB=-

3

4

，
代入③式得x²=

7

4

，
則cosA-cosC=

7

2

．
故答案為：

7

2

．

點評：此題考查了正弦定理，等差數列的性質，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．