Question

（1）求函數f（x）=cos²（ax+b）的導函數；
（2）證明：若函數f（x）可導且為周期函數，則f′（x）也為周期函數．

Answer 1

考點：導數的運算,函數的周期性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用倍角公式降冪，然后利用基本初等函數的導數公式及簡單的復合函數的導數得答案；
（2）函數f（x）可導且為周期函數，則存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），兩邊對x求導數即可證明f′（x）也為周期函數．

解答： （1）解：由f（x）=cos²（ax+b）=

1

2

+

1

2

cos(2ax+2b)，得
f′(x)=-

1

2

sin(2ax+2b)•(2ax+2b)′=-asin（2ax+2b）；
（2）證明：函數f（x）可導且為周期函數，則存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），
兩邊對x求導得f'（x+a）=f'（x），
∴以f'（x）是以a為周期的周期函數．

點評：本題考查了對數的運算，考查了基本初等函數的導數公式，考查了簡單的復合函數的導數，是基礎題．