Question

設定義在R上的偶函數f（x），其圖象關于點（1，0）對稱，并且x∈[2，4]時，f（x）=（3-x）³
（1）證明：f（x）+f（2-x）=0；
（2）證明：f（x）-f（x+4）=0；
（3）求f（x）在[-2，2]上的解析式，并寫出f（x）在R上的單調遞增區間．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）的圖象關于點（1，0）對稱證明f（x）+f（2-x）=0；
（2）由f（x）=f（-x），f（x）+f（2-x）=0推出周期性；
（3）分段寫出函數解析式，由解析式及周期性寫出單調增區間．

解答： 解：（1）證明：∵f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴若點（x，y）在函數圖象上，則其關于點（1，0）的對稱點（2-x，-y）也在函數的圖象上，
故f（x）+f（2-x）=0；
（2）∵f（x）=f（-x），f（x）+f（2-x）=0；
∴f（x）=f（-x）=-f（x+2），
故f（x+4）=-f（x+2）=-（-f（x））=f（x）；
（3）當x∈[-2，0]時，x+4∈[2，4]，
故f（x）=f（x+4）=-（x+1）³，
當 x∈[0，2]時，-x∈[-2，0]，
故f（x）=f（-x）=-（-x+1）³，
故f（x）=

-(x+1)3，x∈[-2，0] (x-1)3，x∈(0，2]

；
已知f（x）在[0，2]上單調遞增，
再由函數的周期性知，
其單調遞增區間為[4k，4k+2]，（k∈Z）．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與證明，屬于基礎題．