Question

如圖，相交于點(diǎn)O的兩條直線OA，OB，在OA上取一點(diǎn)A，作A₁B₁⊥OB，作B₁A₂⊥OA，作A₂B₂⊥OB…一直無限地作下去，若已知A₁B₁=7，B₁A₂=6，則所有垂線長度的和等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先利用三角形的相似求出部分的線段長，發(fā)現(xiàn)線段成等比數(shù)列，進(jìn)一步利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求出結(jié)果．

解答： 解：相交于點(diǎn)O的兩條直線OA，OB，在OA上取一點(diǎn)A，作A₁B₁⊥OB，作B₁A₂⊥OA，作A₂B₂⊥OB…一直無限地作下去，若已知A₁B₁=7，B₁A₂=6，
所以：利用△A₁B₁A₂∽△A₁B₁B₂
解得：A2B2=

36

7

，B2A3=

36•6

7

由于所得的三角形相似
所以成等比數(shù)列：設(shè)公比為q
則解得：q=

36

49

Sn=

7(1-( 36 49 )n)

1- 36 49

+

6(1-( 36 49 )n)

1- 36 49

=49(1-(

36

49

)n)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．