Question

首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1

4

(

a

2 n

+3)，若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則a₁的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3），從而a_n+1＞a_n當(dāng)且僅當(dāng)a_n＜1或a_n＞3．若0＜a_k＜1，則0＜a_k+1＜

1+3

4

=1，若a_k＞3，則a_k+1＞3．由此能求出對(duì)一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要條件是0＜a₁＜1或a₁＞3．

解答： 解：∵a_n+1=

1

4

(

a

2 n

+3)，
∴a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3），
∴a_n+1＞a_n當(dāng)且僅當(dāng)a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，則0＜a_k+1＜

1+3

4

=1，
若a_k＞3，則a_k+1＞

32+3

4

=3．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法得，0＜a₁＜1，∴0＜a_n＜1，?n∈N₊．
由a₁＞3，得a_n＞3，?n∈N₊．
綜上所述，對(duì)一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要條件是0＜a₁＜1或a₁＞3．
∴a₁的取值范圍是（0，1）∪（3，+∞）．
故答案為：（0，1）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的首項(xiàng)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．