Question

（本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面，，
．

（Ⅰ）若點在線段上，且滿足,求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）

第一問中利用線面平行的判定定理，先得到線線平行，根據已知條件得到
過作于，連結，則則，又，所以.
又且，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
所以得到線面平行。
第二問中，通過以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.
利用平面的法向量的夾角與二面角的大小相等或者互補的結論，借助與代數的手段求解得到二面角的大小。
證明：（Ⅰ）過作于，連結，

則，又，所以.
又且，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.           ……4分
（Ⅱ）因為平面，，故
以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由已知可得
.
顯然.
則，
所以.
即，故平面.
（Ⅲ）因為，所以與確定平面，
由已知得，，.               ……9分
因為平面，所以.
由已知可得且，
所以平面，故是平面的一個法向量.
設平面的一個法向量是.
由得   即
令，則.
所以.
由題意知二面角銳角，
故二面角的余弦值為.                            ……14分