Question

設f（x）=lg（

2

1-x

+a）是奇函數
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在定義域上是單調函數；
（3）若f（t²-1）+f（2t-1）＞0，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）通過求函數f（x）的定義域，并且根據奇函數的定義域關于原點對稱即可求得a的值為-1；
（2）求f′（x）=

2

(1-x)(1+x)ln10

＞0，從而便可判斷出f（x）在其定義域（-1，1）上是增函數；
（3）由f（x）為奇函數可得到f（t²-1）＞f（1-2t），而根據f（x）在定義域（-1，1）上的單調性即可得到

-1＜t2-1＜1 -1＜1-2t＜1 t2-1＞1-2t

，解該不等式組即得實數t的取值范圍．

解答： 解：（1）解

2

1-x

+a＞0；
若a＞0，則

x＜1 x＜ a+2 a

，或

x＞1 x＞ a+2 a

；
若a＜0，則

x＜1 x＞ a+2 a

，或

x＞1 x＜ a+2 a

；
∵f（x）為奇函數，∴定義域關于原點對稱；
∴

a+2

a

=-1，a=-1；
∴f（x）=lg

1+x

1-x

；
（2）證明：f′（x）=

2

(1-x)(1+x)ln10

＞0；
∴f（x）在定義域（-1，1）上是單調函數；
（3）根據f（x）是奇函數，由原不等式得，f（t²-1）＞f（1-2t）；
∴根據f（x）在（-1，1）上單調遞增得：

-1＜t2-1＜1 -1＜1-2t＜1 t2-1＞1-2t

；
∴解得-1+

3

＜t＜

2

；
∴實數t的取值范圍為(-1+

3

，

2

)．

點評：考查奇函數定義域的特點，根據函數導數符號判斷或證明函數單調性的方法，奇函數定義的運用，單調性定義的運用．