Question

甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次．記錄如下，甲：82 81 79 78 95 88 93 84　乙：92 95 80 75 83 80 90 85．
（1）畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖，指出學生乙成績的中位數；
（2）現要從中選派一人參加數學競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適？請說明理由；
（3）競賽成績不低于85分，則該次成績?yōu)閮?yōu)秀，若將頻率視為概率，對學生甲在今后的三次數學競賽成績進行預測，記這三次成績中優(yōu)秀的次數為X，求X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

考點：莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）畫出莖葉圖，求出中位數；（2）分別求出甲，乙的平均數，方差，從而得到答案；（3）先求出關于X的分布列，從而求出數學期望．

解答： 解：（1）莖葉圖如右，學生乙成績的中位數為84，
（2）派甲參加比較合適，理由如下：

.

x

甲=

1

8

（70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3）=85，

.

x

乙=

1

8

（70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5）=85，

s

2 甲

=

1

8

[（78-85）²+（79-85）²+（81-85）²+（82-85）²+（84-85）²+（88-85）²+（93-85）²+（95-85）²]=35.5，

s

2 乙

=

1

8

[（75-85）²+（80-85）²+（80-85）²+（83-85）²+（85-85）²+（90-85）²+（92-85）²+（95-85）²]=41．
∵

.

x

甲=

.

x

乙，

s

2 甲

＜

s

2 乙

，
∴甲的成績比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適．
（3）記“甲同學在一次數學競賽中成績高于85分”為事件A，
則P（A）=

3

8

，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，
且X服從B（3，

3

8

），
∴P（X=k）=

C

k 3

（

3

8

）^k（1-

3

8

）^3-k（k=0，1，2，3），
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	125 512	225 512	135 512	27 512

∴E（X）=0×

125

512

+1×

225

512

+2×

135

512

+3×

27

512

=

9

8

（或E（X）=np=

9

8

）．

點評：本題考查了莖葉圖問題，考查了平均數，方差以及分布列期望，是一道綜合題．