Question

【題目】已知函數（，且、）.設關于的不等式的解集為，且方程的兩實根為、.

（1）若，完成下列問題：

①求、的關系式；

②若、都是負整數，求的解析式；

（2）若，求證: .

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）見解析.

【解析】

（1）①要求、的關系式，可根據方程的兩實根為、．結合韋達定理（根與系數的關系），用、表示、．又則，給出、的關系，但在分析過程中，要注意方程有兩個不相等的根時，方程的判別式大于零；

②由可得出，由題意可得出，由此得出，且，可解出的取值范圍，進而可求出負整數、的值，從而可得出函數的解析式；

（2）由，根據零點的存在定理可以得到，代入可以構造一個關于、的不等式組，畫出它們表示的平面區域，利用線性規劃不難得到結論．

（1）①由，得，由已知得，

由韋達定理得，，

則，化簡得，

所以，、的關系式為；

②，得，

因為、均為負整數，則，且、，

由可得，解得.

，，當時，（舍）；當時，，合乎題意.

綜上所述，；

（2）令，

又，，則，

又因為方程的兩根為、，則，，

，

作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：

由圖象可知，，所以，，

因此，.