Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面.四邊形為正方形，且為的中點，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【證明】：(1)因為四邊形ABCD為正方形，所以CD⊥AD.

又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中點R，連接QR，DR.

由題意知，PD∥BC且PD＝BC.

在△SBC中，Q為SB的中點，R為SC的中點，所以QR∥BC且QR＝BC.

所以QR∥PD且QR＝PD，則四邊形PDRQ為平行四邊形，所以PQ∥DR.

又PQ平面SCD，DR平面SCD，

所以PQ∥平面SCD.

【解析】：

分析：（Ⅰ）證明CD⊥AD，然后證明CD⊥平面SAD．
（Ⅱ）取SC的中點R，連QR，DR．推出PD=BC，QR∥BC且QR=BC．然后證明四邊形PDRQ為平行四邊形，即可證明PQ∥平面SCD．

詳解：

(1)因為四邊形ABCD為正方形，所以CD⊥AD.

又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中點R，連接QR，DR.

由題意知，PD∥BC且PD＝BC.

在△SBC中，Q為SB的中點，R為SC的中點，所以QR∥BC且QR＝BC.

所以QR∥PD且QR＝PD，則四邊形PDRQ為平行四邊形，所以PQ∥DR.

又PQ平面SCD，DR平面SCD，

所以PQ∥平面SCD.