Question

已知：四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，且

CF

CB

=

CG

CD

=

2

3

．
求證：（1）四邊形EFGH是梯形；
（2）FE和GH的交點在直線AC上．

Answer 1

分析：（1）根據已知中四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，由平行線分線段成比例定理，我們易證明出EH∥FG，但EH≠FG，故四邊形EFGH是梯形；
（2）由（1）的結論，我們易得EFGH四點共面，而且EF與FG相交，結合公理3我們易證明出FE和GH的交點在直線AC上．

解答：證明：已知如下圖所示：
（1）連接BD，
∵E，H分別是邊AB，AD的中點，∴EH∥BD
又∵

CF

CB

=

CG

CD

=

2

3

，∴FG∥BD
因此EH∥FG且EH≠FG
故四邊形EFGH是梯形；（6分）
（2）由（1）知EF，HG相交，設EF∩HG=K
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴k∈平面ABC
同理K∈平面ACD，
又平面平面ABC∩平面ACD=AC
∴K∈AC
故FE和GH的交點在直線AC上．（12分）

點評：本題考查的知識點是平行線等分線段定理，及三線共點問題，其中利用平行線等分線段定理求出四邊形EFGH的形狀是解答本題的關鍵．