Question

【題目】已知函數f(x)＝，若存在x∈，使得f(x)<2，則實數a的取值范圍是________．

Answer 1

【答案】(－1,5)

【解析】

由題意f(x)<2可得－2<x3－ax<2，得到x2－<a<x2＋，即

分別判斷不等式左右兩邊函數的單調性，求得最值，解不等式得到a的范圍.

解法1 當x∈[1,2]時，f(x)<2，等價于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－<a<x2＋，即，

設，因此在單調遞增，，

設，因此在單調遞增，，

得到－1<a<5.

解法2 原問題可轉化為先求：對任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2時，實數a的取值范圍．

則有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥.

（1）當a≥4時，a≥x2＋≥22＋＝5，得到a≥5.

（2）當a≤1時，x2－a≥，有a≤x2－≤1－＝－1，得到a≤－1.

（3）當1<a<4時，|a－x2|≥0，與>0矛盾．

那么有a≤－1或a≥5，故原題答案為－1<a<5.

對于存在性問題，可以直接轉化為相應函數的最值問題，也可以參數和變量分離后再轉化為函數的最值問題(如解法1)；也可以轉化為命題的否定即恒成立問題來處理(如解法2)．