Question

已知雙曲線c：

x2

4

-

y2

12

=1，M（x，y）是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M到直線x=4的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)D（1，0）的距離之比恰為雙曲線C的離心率，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，
（1）斜率為

1

2

的直線l與曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線l不過(guò)點(diǎn)P（1，

3

2

），設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k_PA、k_PB，求k_PA+k_PB的數(shù)值；
（2）試問(wèn)：是否存在一個(gè)定圓N，與以動(dòng)點(diǎn)M為圓心，以MD為半徑的圓相內(nèi)切？若存在，求出這個(gè)定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由雙曲線方程可求離心率，再由已知條件推導(dǎo)出|x-4|=2

(x-1)2+y2

．由此能求出曲線C的方程．設(shè)直線l：y=

1

2

x+m，m≠1．聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-3=0．由此利用韋達(dá)定理和根的判別式能求出k_PA+k_PB的值．
（2）一定存在滿足題意的定圓N．由題意知兩圓的圓心之間距離|MN|與其中一個(gè)圓的半徑之和或差必為定值．聯(lián)想橢圓軌跡定義，有|MF|+|MD|=4，由此能求出定圓N的方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線c：

x2

4

-

y2

12

=1的a=2，b=2

3

，c=

4+12

=4，則e=

c

a

=2，
設(shè)點(diǎn)M（x，y）是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
由于點(diǎn)M到直線x=4的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)D（1，0）的距離的2倍，
∴|x-4|=2

(x-1)2+y2

，
化簡(jiǎn)，得曲線C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1，
∵直線l的斜率為

1

2

，且不過(guò)P（1，

3

2

）點(diǎn)，
∴設(shè)直線l：y=

1

2

x+m，m≠1．
聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-3=0．
又交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴

x1+x2=-m x1x2=m2-3

，
∵△=m²-4（m²-3）＞0，∴-2＜m＜2．
∴k_PA+k_PB=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-2m+3

x1x2-(x1+x2)+1

=

m2-3-m2+2m-2m+3

m2-3+m+1

=0．
（2）一定存在滿足題意的定圓N．
理由：∵動(dòng)圓M與定圓N相內(nèi)切，
∴兩圓的圓心之間距離|MN|與其中一個(gè)圓的半徑之和或差必為定值．
又D（1，0）恰好是曲線（橢圓）C的右焦點(diǎn)，
且M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，
記曲線C的左焦點(diǎn)為F（-1，0），聯(lián)想橢圓軌跡定義，有|MF|+|MD|=4，
∴若定圓的圓心N與點(diǎn)F重合，定圓的半徑為4時(shí)，則定圓N滿足題意．
∴定圓N的方程為：（x+1）²+y²=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查兩直線斜率和的求法，考查定圓是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．