Question

【題目】如圖，已知矩形BB1C1C所在平面與底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N中，AN∥BB1 ， AB⊥AN，CB=BA=AN= BB1 ．

（1）求證：BN⊥平面C1B1N；
（2）求二面角C﹣C1N﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形BB1C1C是矩形，∴BC⊥BB1，

∵平面BB1C1C⊥底面ABB1N，平面BB1C1C∩底面ABB1N=BB1，BC平面BB1C1C，

∴BC⊥平面ABB1N，

以B為原點，以BA，BB1，BC為坐標軸建立空間直角坐標系B﹣xyz，

設(shè)AB=1，則B（0，0，0），N（1，1，0），B1（0，2，0），C1（0，2，1），C（0，0，1）

∴ =（1，1，0）， =（﹣1，1，0）， =（0，0，1），

∴ =﹣1+1=0， =0，

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1∩B1C1=B1，

∴BN⊥平面C1B1N．

（2）解： =（﹣1，1，1）， =（﹣1，﹣1，1）， =（0，2，0），

設(shè)平面BNC1的法向量為 =（x，y，z），則 ， =0，

∴ ，令x=1得 =（1，﹣1，2），

同理可得平面CNC1的法向量為 =（1，0，1），

∴cos＜ ＞= = ．

∴二面角C﹣C1N﹣B的大小為30°．

【解析】（1）證明BC⊥平面ABB1N，建立空間直角坐標系，利用向量證明BN⊥NB1，BN⊥B1C1，從而可證明BN⊥平面C1B1N；（2）分別求出平面BNC1和平面CNC1的法向量，計算法向量的夾角，從而可得二面角C﹣C1N﹣B的大小．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想才能正確解答此題．