Question

已知

a

=（7，1），

b

=（tan（

π

4

+a），1），且

a

∥

b

，
（1）求tana的值；
（2）求sinacosa+2cos²a的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：三角函數的求值,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）通過向量平移的充要條件，列出方程，利用兩角和的正切函數，即可求tana的值；
（2）表達式sinacosa+2cos²a的分母利用“1”的代換，轉化為正切函數的形式，然后求解即可．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）∵

a

=（7，1），

b

=（tan（

π

4

+a），1），且

a

∥

b

，
∴7×1-tan(

π

4

+α)×1=0，------------------------------------（3分）
∴7-

1+tanα

1-tanα

=0，解得 tanα=

3

4

．---------------------（6分）
（2）由（1）知tanα=

3

4

，
sinαcosα+2cos²α=

sinαcosα+2cos2α

sin2α+cos2α

=

tanα+2

tan2α+1

---------------（9分）
=

3 4 +2

( 3 4 )2+1

=

44

25

-------------------------------------（12分）

點評：本題考查兩角和的正切函數的應用，向量共線的充要條件，考查計算能力．