Question

已知函數f（x）=2lnx+1的圖象與直線y=2x-a恰好有一個交點，設g（x）=e^x-x²+a，當x∈[1，2]時，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，

  e2-1

  ]
• B、[

  e2-1

  ，e]
• C、[-e，

  e2+1

  ]
• D、[

  e2+1

  ，+∞）

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：用導數求出曲線上某點切線方程，即可得到a的值，再利用導數求出函數g（x）=e^x-x²+a，當x∈[1，2]時的最值，再根據不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立，求的m的范圍

解答： 解：∵函數f（x）=2lnx+1的圖象與直線y=2x-a恰好有一個交點，
∴直線y=2x-a與f（x）相切
設曲線的切點為P（x₀，y₀），
∵f′（x）=

2

x

，
∴f′（x₀）=

2

x0

=2，
∴x₀=1，
∴y₀=2lnx₀+1=1，
∴2-a=1，
∴a=1
∴g（x）=e^x-x²+1，
∴g′（x）=e^x-2x，x∈[1，2]
設h（x）=e^x-2x，x∈[1，2]
∴h′（x）=e^x-2＞0在[1，2]恒成立，
∴h（x）=e^x-2x，x∈[1，2]為增函數，
∴h（x）_min=h（1）=e-2＞0，
∴g′（x）＞0在[1，2]恒成立，
∴g（x）=e^x-x²+1在[1，2]為增函數，
∴g（1）≤g（x）≤g（2），
即e≤g（x）≤e²-3
∵當x∈[1，2]時，不等式-m≤g（x）≤m²-4恒成立
∴

e≥-m e2-3≤m2-4

解得m≥

e2+1

故選：D．

點評：本題考查了導數和函數的最值的關系，以及導數的集合意義，以及恒成立的問題，屬于中檔題