Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b）的右焦點F（c，0）的直線交雙曲線于A、B兩點，交y軸于點P，則有

|PA|

|AF|

-

|PB|

|BF|

為定值

2ac

b2

，類比雙曲線的這一結論，在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，

|PA|

|AF|

+

|PB|

|BF|

也為定值，則這個定值為（　　）

• A、

  2a2

  b2

• B、

  2ac

  b2

• C、

  2b2

  a2

• D、

  2bc

  a2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：雙曲線的這一結論，在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，|

|PA|

|AF|

-

|PB|

|BF|

|也為定值，且為

2a2

b2

．設出直線方程，聯立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，以及共線向量的坐標表示，化簡整理，即可得到定值．

解答： 解：雙曲線的這一結論，在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，
|

|PA|

|AF|

-

|PB|

|BF|

|也為定值，且為

2a2

b2

．
理由如下：設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點F（c，0），
過F的直線為y=k（x-c），代入橢圓方程，可得
（b²+a²k²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2a2k2c

b2+a2k2

，x₁x₂=

a2k2c2-a2b2

b2+a2k2

，
則|

|PA|

|AF|

-

|PB|

|BF|

|=|

x1

c-x1

-

x2

x2-c

|=|

c(x1+x2)-2x1x2

c2-c(x1+x2)+x1x2

|
=|

2a2k2c2 b2+a2k2 - 2(a2k2c2-a2b2) b2a2k2

c2- 2a2k2c2 b2+a2k2 + a2k2c2-a2b2 b2+a2k2

|=|

2a2b2

(c2-a2)b2

|=

2a2

b2

，
故選A．

點評：本題考查橢圓方程的運用，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理，考查化簡整理的能力，具有一定的運算量，屬于中檔題和易錯題．