Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，F(xiàn)分別是AA₁，BB₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：D₁N垂直B₁F；
（2）求直線CM與D₁N所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系D-xyz，分別求出CM與D₁N的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出CM與D₁N所成角的余弦值．

解答： （1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系D-xyz，如圖

設(shè)正方體的棱長為2，則D₁（0，0，2）、N（2，2，1）、B₁（2，2，2）、F（1，2，0），

D1N

=（2，2，-1），

B1F

=（-1，0，-2）
所以

D1N

•

B1F

=-2+0+2=0，
所以D₁N垂直B₁F；
（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，D-xyz，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M，N分別為AA₁、BB₁的中點(diǎn)
則C（0，2，0）、D₁（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）
∴

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1）
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM || D1N |

=

-1

9

，
所以CM與D₁N所成的角的余弦值為

1

9

．

點(diǎn)評：本題考查了正方體為載體的線線垂直的判定和異面直線所成的角的求法；本題借助于空間向量的數(shù)量積解答的，注意題目的轉(zhuǎn)化方法．